Необходимое условие дифференцируемости

Если функция $f$ дифференцируема в точке $x^0$, то она непрерывна в этой точке, существуют частные производные по всем переменным и справедливы равенства $f'_{x_k}(x^0) = A_k$.

Если $||\Delta x|| \to 0$, то $\forall{k \in \overline{1, m}}~~ \Delta x_k \to 0$ и $$\Delta f(x^0) = \sum_{k=1}^{m} A_k \Delta x_k + o(||\Delta x||) \to 0$$ а это и есть непрерывность. Рассмотрим $\Delta x = (0, \dots, \Delta x_k, \dots, 0)$. Тогда из дифференцируемости $$\Delta f(x^0) = A_k \Delta x_k + o(|\Delta x_k|)$$ $$f'_{x_k}(x^0) = \lim\limits_{\Delta x_k \to 0} \dfrac{\Delta f(x^0)}{\Delta x_k} = \lim\limits_{\Delta x_k \to 0} (A_k + o(1)) = A_k$$ $\square$